Fonctions de réponse

Contexte :

Une fonction de réponse est une fonction mathématique qui traduit l’effet d’une variable d’action (x) sur une variable objectif (Y).

Fonctions :

Les fonctions peuvent être regroupées selon qu’elles peuvent être directement estimées dans une régression soit directement ou par transformation de la variable x (fonctions linéaires), par une transformation des x et des y  (fonctions linéarisables) ou qu’il soit nécessaire d’utiliser des méthodes d’estimations non linéaires (fonctions non linéaires).

Une autre question importante est le nombre de paramètres.

Plus il y a de paramètres,

  • Meilleur est l’ajustement
  • Plus il faut un grand nombre d’observations pour calculer les coefficients (compter au minimum 10 observations par coefficient à estimer)

Description :

Il est important de comprendre le « fonctionnement » d’une fonction mathématique :

  • le domaine de définition de la fonction (ses minimum et maximum)
  • ce qui se passe selon les valeurs de X (possibilité d’un x négatif  ou = 0 ?)
  • l’évolution de sa dérivée première et de sa dérivée seconde
  • il y a ainsi des fonctions éventuellement « sigmoïdes » (en S) avec des rendements d’abord croissants puis décroissants)

Pour les fonctions non linéaires,

  • il peut être utile  de connaître les dérivées par rapport aux coefficients
  • il est nécessaire d’avoir une bonne première estimation des coefficients (sinon la procédure peut ne pas converger (ne pas fournir de solution pour les coefficients)

Principales fonctions 

  • Power series model : y = a + b* X*X
  • Racine : y =a + b*Racine(X)
  • Semi log model : y = a + b* ln(X) »
  • Multiplicative Log_Log : y = a.X**b
  • Log reciproqual: ln(y)= a + b*1/X
  • Polynomial inverse : y=1/(b0+b1/x)
  • Modified exponential  : Y = a *(1-exp(-b*x))+ c
  • Simple Logistic : Y = a / (1+ exp(b-c*x))+ d
  • Log Logistic : Y = a / (1+c*exp(-b*log(x)))
  • Gompertz  : Y = a*b**(c**x)+d
  • Model : Y = c+ a*exp(-exp(-b*x))
  • ADBUDG : Y = b + (a-b)* x**c/(d+ x**c)
  • Extended logistic (Bass Model) : Y = (a -c*exp(-b*x))/(1+d*exp(-b*x))
  • Non symetric responding Logistic curve : Y = a /(1+c*exp(-b*x*YM1**d))
  • Flexible Logistic curve (IPT) : Y = a /(1+c*exp(-b*(1+d*x)**(1/d)-1))
  • Flexible Logistic curve (Elog) : Y = a / (1+c*exp(-b*(exp(d*x-1)/d)))
  • Box-Cox transformation : Y = a /(1+c*exp(-b*(((1+x)**d-1)/d)))

sig1sig2

sig9sig8sig6sig7sig5sig4sig3sig10

 

 

Programmes en SAS

  • courbes_log_1 : Linéaires ou linéarisables avec une régression (Proc REG)
  • courbes_log_2 : Avec une régression non linéaire (Proc NLIN)
  • courbes_log_3 : Avec la spécification d’un modèle quelconque (Proc MODEL)
  • courbes_log_4 : Création directe d’une fonction mise ensuite en catalogue

Pour rechercher des valeurs initiales acceptables

  • Utiliser la feuille excel Courbes ou

excel0

 

excel2

 

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